در بخش ۴.١ کار خود را با شرح این مورد آغاز می کنیم که چگونه می توان راه حل کیفی را برای مسائلی با محدودیت های محدب پیدا کنیم. در بخش ۴.٢ الگوریتم دو مرحله ای را نشان می دهیم که به طور موثر به توزیع نقاط بر روی نمودار پارتو با هدف رسیدن به بهترین برآورد زمانی که تنها تعداد محدودی از نقاط (سبد سرمایه) می توانند محاسبه شوند، می پردازیم. در بخش ۴.٣ به این بحث می پردازیم که آیا مسئله فرمولبندی سه نوع مسئله ( مسئله با حداکثر کاردینالیته، آستانه خرید، یا محدودیت ۵-١٠-۴٠) می بایست به منظور امکان پذیر کردن کاربرد حل کننده مختلط عدد صحیح با عملکرد بالای تجاری موجود، اصلاح گردد، و اگر کار انجام گیرد، این اصلاحات باید چگونه باشند. بخش ۴.۴ روش مستدلی را برای هر یک از محدودیت های غیرجزئی ارائه می کند، که با توجه به کران پایین سود قابل پیش بینی، هدفش محاسبه سبد سرمایه ای با کمترین واریانس می باشد. این استدلال بر روی ٧ مسئله مبنا تست شده است، و نتایج حاصل شده در بخش ۴.۵ ارائه و تحلیل شده است. همچنین در این بخش، گزارشی در مورد آزمایشاتی می دهیم که برآوردی را در ارتباط با کارایی رویکرد دومرحله ای برای توزیع نقطه ای می دهد. با توضیح مختصری در بهخش ۴.۶ به نتیجه گیری می پردازیم.

۴.١ اندازه گیری عملکرد:

اندازه گیری عملکرد در زمینه های چندمنظوره مشکل می باشد، زیرا مستلزم مقایسه مرزهای کامل یا تخمین های مربوطه و نه تنها راه حل ها/ سبد سرمایه گذاری های (پورتفولیو) مجزا می باشد. چندین اندازه گیری عملکرد احتمالی، به عنوان مثال جانسن و جاز کیویچ (HJ٩٨) یا زیتزلر و همکارانش مورد بحث قرار می گیرد. در ادامه، به قضاوت در مورد مرزهای ایجاد شده توسط انحراف از مرز ایده ال پرداخته، که به عنوان مرزهای کارآمد مسئله بدون محدودیت های غیربرجسته تعریف می گردد. این مرز ایده ال به عنوان کران بالا در مورد عملکرد بوده و می تواند به طور موثر توسط برنامه ریزی پارامتری تابع هدف درجه دوم ، برای مثال الگوریتم های نشان داده شده در فصل ٣، محاسبه گردد. به منظور اندازه گیری انحراف، به محاسبه سطح بین مرزهای حاصل شده و مرز ایده ال می پردازیم. یکی از مشکلات مربوط به روش های مبتنی بر سطح، تعریف واریانس بیشینه و مرزهای برگشت کمینه برای محاسبه سطح می باشد، شکل ۴.٣ را مشاهده کنید. اگر این مقادیر دور از هم باشند، سبد سرمایه گذاریهای بینهایت دارای تاثیر زیادی بر روی کیفیت راه حل می شوند. اگر آن ها نزدیک به هم باشند، بعضی از بخش های مرزی احتمالا قطع می گردد. چون مرزها مناسب واضح نمی باشند، در اینجا دو مقدار را گزارش می کنیم: بخش هایی که از واریانس بیشینه و سبد سرمایه گذاریهای حاصل شده کمینه از مرزهای ایده ال ( سطح دلتا ایده ال)؛ و واریانس بیشینه و بازده کمینه هر دارایی در جهانی های موجود، استفاده می کنند.